系統評價方法

系統評價就是全面評估系統價值。而價值通常被理解為評價主體根據其效用觀點對評價對象滿足某種需求的認識。它與評價主體，評價對象所處的環境狀況密切相關。

關聯矩陣法

關聯矩陣是一種常規的綜合評價方法，它採用矩陣的形式，表示各備選方案針對具體指標價值評定量之間的關係。

$ A_1 , ⋯ , A_m $ 是某評價對象的 $ m $ 個替代方案；

$ X_1 , ⋯ , X_n $ 是評價替代方案的 $ n $ 個評價指標或評價項目；

$ W_1 , ⋯ , W_n $ 是 $ n $ 個評價指標的權重；

$ V_{i1} , ⋯ , V_{mn} $ 第 $ i $ 個替代方案 $ A_i $ 關於 $ X_j $ 指標 $ ( 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n ) $ 的價值評定量。

下面將結合一例題來接受兩種確定權重以及價值評定量的方法。

某企業生產一款熱門產品，規劃了以下三種生產方案：

$ A_1 $：自行設計一條新的生產線；

$ A_2 $：從國外引進一條自動化程度較高的生產線；

$ A_3 $：在既有設備基礎上改裝一條生產線。

經過權威部門及專家討論，評價指標確定為五項，分別為：期望利潤；產品良品率；市場佔有率；投資費用；產品外觀。

根據專業人士的預測和估計，執行這三種方案後，對五個評價項目的結果如下所示。

逐對比較法

這一方法的基本步驟為：

對各替代方案的評價指標進行逐隊比較，對於相對重要的指標給予較高得分，得到各評價項目的權重 $ W_j $；

根據評價主體給定的評價尺度，對各替代方案在不同評價指標下一一評價，得到相應的評價值；

加權求和得到綜合評價值。

對於例題，我們首先需要通過逐對比較法求處個評價指標的權重。如下圖所示，期望利潤與產品成品率相比前者更為重要，故前者得一分後者得零分。最後根據各評價項目累積得分計算權重。

隨後，由評價主體確定評價尺度，如下圖所示，以使方案在不同指標下的事實結果能夠統一度量，以便加權求和。

隨後根據前兩張圖，對各替代方案進行綜合評定，結果如下圖所示，可知 $ V_2 \gt V_1 \gt V_3 $，則 $ A_2 \gt A_1 \gt A_3 $。

古林法

但對各評價項目間的重要性可以做出定量估計時，可以採用古林法，這是確定指標權重和方案值評定量的基本方法。

這一方法的基本步驟為：

確定評價項目 $ R_j $ 的重要程度；

將 $ R_j $ 標準化，以 $ K_j $ 為單位處置，並得到權重 $ W_j $；

採用關聯矩陣法相同的方式計算替代方案的評估值；

加權求和得到綜合評價值。

對於例題，我們需要首先確定評價指標的重要度 $ R_j $。

隨後對 $ R_j $ 進行基準化處理，設基準化處理的結果為 $ K_j $，以最後一個評價指標為基準，令其 $ K $ 值為 1，自下而上計算其他項目的 $ K $ 值。

在完成上面的步驟後，對 $ K_j $ 進行歸一化處理，將 $ K_j $ 列數字相加得到 $ \sum K_j $，如圖所示用 $ K_j $ 除以 $ \sum K_j $，所得結果紀為 $ W_j $。

算出各評價項目的權重後，按照同樣的計算方法，對各替代方案逐項進行評價。此處方案 $ A_i $ 在指標 $ X_j $ 下得重要度 $ R_{ij} $ 不需要再予以估計，可以按照各替代方案的預計結果按比例計算出來。如對期望利潤 $ X_1 $ 的 $ R_{i1} $，因 $ A_1 $ 的期望利潤為 650 萬元，$ A_2 $ 的期望利潤為 730 萬元，則有 $ R_{11} = 650/730 = 0.890 $，$ R_{21} = 730/520 = 1.404 $，隨後按照與第二步相似的方法求得 $ K_{ij} $ 並進行歸一化得到 $ V_{ij} $。

在計算第四步時，由於投資費用越小越好，故其比例求取倒數，即 $ R_{14} = 180/110 = 1.636 $，$ R_{24} = 50/180 = 0.279　 $

可知 $ V_2 \gt V_1 \gt V_3 $，則 $ A_2 \gt A_1 \gt A_3 $。

簡便方法：

將所有替代方案中的各項價值評定量除以最後一行的值；

隨後將各行的值除以各列的值的總和；

進行歸一化，便可以快速得出加權和 $ V_i $ 以得出結果。

層次分析法

使用層次分析法建模大致可依四個步驟進行：

建立層次結構模型，描述評價系統中各元素之間的關係；

創建兩兩判斷矩陣，對同一層元素進行兩兩比較，構建矩陣；

計算要素相對權重，分析同一層每個元素對上一層準則的重要程度，透過判斷矩陣計算各元素相對權重，並進行一致性檢驗；

計算各元素對系統總目標的合成（總體）權重，並對各候選方案進行排序。

在此使用例題進行說明。

某大学需要科学评审一系列科研课题，选择科研课题的指标体系如下图所示。针对众多的候选评审课题如何进行科学选择？请使用层次分析法，确定 $ C_1 $ 到 $ C_6 $ 相对于总目标 $ A $ 的权重。

對於這道例題，我們首先需要計算 $ W_i $，公式為 $ W_i = (\prod_{j=1}^{n} a_{ij})^{\frac {1}{n}} $，例如

$ W_2 = \sqrt[3]{3 \times 1 \times 5} = 2.466 $

隨後對其進行歸一化，得到 $ {W_i}^0 $，公式為 $ {W_i}^0 =\frac {W_i}{\sum_iW_i} $，例如

$ {W_2}^0 =\frac{W_2}{\sum_iW_i} = \frac{2.466}{3.804} = 0.648 $

在歸一化完成之後，我們需要進行一致性檢驗，首先需要計算 $ {\lambda}{max} $，公式為 $ {\lambda}{max} \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{{{(AW)}i}}{W_i} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n\frac {\sum_{j=1}^n {(a_{ij} W_j)}}{W_i} $, 例如

$ {\lambda}_{max} = \frac{1}{3} \times(\frac{1\times0.874+\frac{1}{3}\times2.466+2\times0.464}{0.874}+\frac{3\times0.874+1\times2.466+5\times0.464}{2.466}+\frac{\frac{1}{2}\times0.874+\frac{1}{5}\times2.466+1\times0.464}{0.464})=3.004 $

$(AW)_i $ 的計算方式可參考下圖，類似矩陣的運算。

隨後計算 $ C.I. $，公式為 $ C.I. = \frac {{\lambda}_{max}-n}{n-1}$，例如

$ C.I. = \frac{3.004-3}{3-1} = 0.002 $

查表得到 $ R.I. $ 的值。

n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
R.I. | 0 | 0 | 0.52 | 0.90 | 1.12
| | | | |
n | 6 | 7 | 8 | 9 |
R.I. | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 |

隨後計算 $ C.R. $，公式為 $ C.R. = \frac {C.I.}{R.I.}$，若 $ C.R. < 0.1 $，即代表通過一致性檢驗，例如

$ C.R. = \frac{0.002}{0.52} = 0.00384 < 0.1 $

最後求取各方案的總重要度，公式為 $ C_j = \sum_{i=1}^n {(b_i {C_j}^i)}$，例如

$ C_2 = 0.230 \times 0.258+0.648\times0.333+0.122\times0.066 = 0.283 $

結果表明，$ C_1 > C_3 > C_2 $，則方案「新建工廠」最為合適，全部計算過程如下圖。

模糊綜合評價法

模糊綜合評價法是以模糊數學為基礎，運用模糊關係合成原理，將一些辯解不清不易定量的因素定量話，從多個因素對評判事物隸屬等級狀態進行綜合評價的一種方法。

使用模糊綜合評價法建模大致可依三個步驟進行：

確定因素集 $ F $ 與評定集 $ E $。因素集 $ F $ 是評價項目或指標的集合，一般有 $F = {f_i}, 1 \leq i \leq n $。評定集為評價等級的集合，一般有 $ E = {e_j}, 1 \leq j \leq m $。

統計、確定單因素評價的隸屬度向量，形成隸屬度矩陣 $ R $。隸屬度是模糊綜合評判中最基本最重要的概念。隸屬度 $ R_{ij} $ 指多個評價主體對某個評價對象在 $ f_i $ 方面做出 $ e_j $ 評定的可能性大小。

確定權重向量 $ W_F $，這是評價項目或指標的權重或權系數向量。此外，還可有獲得評定集的數值結果（標準滿意度矢量）$ W'_E $ 或權重 $ W_E $。

在此使用例題進行說明。

某人在購買冰箱前，為了決定型號 $ A_1 $、$ A_2 $、$ A_3 $ 的優先順序，讓五個家庭成員使用模糊綜合評判法進行評價。評價項目（因素）包括價格 $ f_1 $、品質 $ f_2 $ 和外觀 $ f_3 $，其相應權重透過圖一的判斷矩陣獲得。評價尺度分為三個級別，例如價格分為低（0.3）、中（0.2）、高（0.1）。評判結果如圖二所示。請計算這三種冰箱的優先度並進行排序。

首先計算權重 $ W_i $ 並進行歸一化，得到如下結果

隨後進行計算，最終結果如下圖。通過比較評價值，可確定優先順序為 $ A_2 $、$ A_2 $、$ A_3 $。

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