系統模型與模型化技術（2）

系統結構模型化技術

結構分析的概念及意義

概念：結構分析是一個實現系統結構模型化並加以解釋的過程

意義：結構分析是系統分析的總要內容，是系統優化分析、設計與管理的基礎。

主要內容：

對系統目的 — 功能的認識；

系統構成要素的選取；

對要素間的聯繫及其層次關係的分析；

系統整體結構的確定及其解釋。

系統結構的基本表達方式

系統結構可以有多種表達方式，一般情況下，他們之間可以相互轉化。在下面的介紹中，我們會給出兩個案例。

系統結構的集合表達

假設某系統 A 中含有 $ S_1 $ 至 $ S_5 $ 五個元素，他們之間的二元關係都集合表達為

$ R_b = {(S_1, S_2), (S_1, S_5), (S_2, S_3), (S_3, S_4), (S_5, S_2), (S_5, S_3), (S_5, S_4)} $

同理，含有 $ S_1 $ 至 $ S_6 $ 六個元素的系統 B，他們之間的二元關係的集合表達為

$ R_b = {(S_1, S_3), (S_1, S_5), (S_2, S_4), (S_4, S_2), (S_4, S_6), (S_5, S_1), (S_5, S_2)} $

系統結構的有向圖表達

根據描述，我們可以作出有向圖如下：

系統結構的矩陣表達

鄰接矩陣

鄰接矩陣 $ (A) $ 是表示系統要素間基本二元關係或直接聯繫情況的方陣。若兩元素間存在二元關係，則對應位置填入 "1"，反之則填入 "0"。有了表達系統結構的集合式 $ (S , R_b) $ 或有向圖 $ (D) $，就可以很容易地把 $ (A) $ 寫出。系統 A、B 的鄰接矩陣如下

很明顯。$ A $ 中 "1" 的個數與 $ R_b $ 所包含的要素對數目以及有向圖 $ D $ 中有向弧的條數相同。

在鄰接矩陣中，若有一列元素完全為 0，則這一列所對應的要素為系統的輸入要素，若有一行元素完全為 0，則這一行對應的要素為系統的輸出要素。

可達矩陣

若在要素 $ S_i $ 和 $ S_j $ 間存在某種傳遞性二元關係，或在有向圖上存在由節點i通往j的有向通路時，則稱 $ S_i $ 可以到達 $ S_j $ 。所謂可達矩陣 $ (M) $ 就是表達系統要素間任意次傳遞性二元關係或有向圖上兩節點之間通任意長路徑可到達情況的方陣。

矩陣 $ A $ 和 $ M $ 的元素均為 "1" 或 "0"，符合布爾運算的運算規則。通過對鄰接矩陣 $ A $ 的運算，可求處系統要素的可達矩陣 $ M $。設無迴路情況下的最大路長或傳遞次數為 $ r $，$ I $ 為與 $ A $ 同階次的單位矩陣，則可達矩陣的計算公式為 $ M=(A+I)^r $。

系統 A 和系統 B 的可達矩陣如下

縮減矩陣

根據強連接要素的可替換行，在已有的可達矩陣 $ M $ 中，將具有強連接關係的一組要素看作一個要素，保留其中的某個代表要素，刪除其餘要素，便可得到可達矩陣 $ M $ 的縮減矩陣 $ M' $。系統 A 和系統 B 的縮減矩陣如下

建立遞階結構模型

為了建立反應系統問題要素間層次關係的遞階結構模型，可以在可達矩陣 $ M $ 的基礎上進行。

使用規範方法時，我們一般需要經過區域劃分、級位劃分、骨架矩陣提取和多級遞階有向圖繪製四個階段。

而在使用實用方法時，我們需要經過建立縮減矩陣、層次化處理、多級遞階有向圖繪製三個步驟。

由於該部分涉及概念過多且較為抽象，我們選擇通過解決實際問題來進行說明。

已知下面的系統可達矩陣，建立其遞階結構模型

由於本站點對於 $ \LaTeX $ 的支持並不完備，故使用圖片形式進行演示，相關文件將在稍後開源。

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